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Soutenance de thèse: Réjane FIESCHI (12 décembre 2017)

Discipline: Mathématiques - Mention: Mathématiques appliquées et applications des Mathématiques

Résolutions d’équations d’ondes en dimension quelconque

Résumé vulgarisé

De nombreux phénomènes scientifiques sont modélisés par des équations mathématiques prenant en charge la position et la temporalité, il s'agit d'équation spatio-temporelles dépendant de plusieurs variables, satisfaisant des contraintes biologiques et/ou physiques, traduites sous la forme de données, de conditions initiales et de conditions aux limites .
Ces équations sont plus connues sous la terminologie d'EDP (Equations aux Dérivées Partielles).
Elles permettent de suivre et de modéliser une situation donnée en temps réel.
L'objet de notre étude est la résolution d'équations d'ondes avec ou sans terme d'amortissement.
Ce type d'équations se retrouve dans le domaine de l'élasticité, de la dynamique des gaz ou encore dans le domaine de la modélisation de l'influx nerveux.
La particularité du traitement de ces problèmes, en dimension supérieure ou égale à deux, réside dans l'absence de régularité générale de la solution.
L'objet de nos recherches est l'obtention, à partir des conditions les plus générales possibles, de l'existence voire de l'unicité de solutions en fonction des données du problème et des différentes configurations spatiales envisagées.
Notre étude sera menée en deux temps : la première partie sera consacrée à la mise en place de problèmes Riemann, dans cas linéaire puis non linéaire, en dimension deux.
Ces problèmes apparaissent spontanément dans la nature à travers la présence d'ondes de chocs, engendrant des discontinuités au niveau de la solution.
La seconde partie sera dédiée à la résolution de systèmes d'équations avec terme d'amortissement en dimension quelconque. 
Deux types de problèmes seront envisagés : le problème faible et le problème fort, la nature des données sera précisée dans chaque cas.
Les conditions prises en compte pour chacun des problèmes seront de deux types : les conditions de Dirichlet et les conditions de Neumann .
L'exploitation  de ces résultats permettra de prévoir certains comportements scientifiques modélisés par ce type  de systèmes d'équations, d'affirmer voire d'infirmer certaines théories empiriques et également de pouvoir interagir sur certains phénomènes décrits par ces systèmes ; cela pourra notamment être le cas dans le domaine de l'analyse de l'influx nerveux, à travers le comportement des ondes cérébrales.

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Moungar David | Mise à jour le 28/11/2017
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